RDM – Comment calculer une contrainte dans une poutre en flexion ?

 

Chaque composante du torseur de cohésion (ou torseur des efforts intérieurs) représentant un mode de sollicitation élémentaire :

  • N, effort normal : force de direction tangente à la courbe moyenne ;
  • T, effort tranchant : force perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant un cisaillement :
    • Ty : effort tranchant selon y,
    • Tz : effort tranchant selon z ;
  • Mf, moment fléchissant : moment dont le vecteur est perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant une flexion :
    • Mfy : moment fléchissant selon y,
    • Mfz : moment fléchissant selon z ;
  • Mt, moment de torsion : son vecteur a pour direction x.

Exemple d’application

Un solide en porte à faux est modélisé par une poutre de longueur l, encastrée au point A. Une force concentrée F est appliqué à l’extrémité au point B.

Hypothèses

  • Matière homogène et isotrope,
  • La poutre est rectiligne,
  • L’action mécanique est modélisée par un vecteur force appliquée progressivement et une variation lente

Questions

  1. Déterminer le torseur de cohésion le long de la poutre.
  2. Tracer les diagrammes des sollicitations Ty(x) et Mfz(x) 

Cet exercice est extrait du Kit de survie – Résistance des matériaux, que vous pourrez retrouver dans la formation en ligne ou en fiche à la demande.

Solution

Eléments de réponse

$$T_{coh}(x) = \left[\begin{matrix}0 & 0\\F & 0\\0 & -Fl\end{matrix}\right]_{B0}$$

Solution détaillée

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RDM – Comment calculer la flèche d’une poutre en flexion ?

Thèorème de Castigliano

Le théorème de Castigliano (du nom de Carlo Alberto Castigliano) est à la base de nombreuses méthodes de calcul des efforts en résistance des matériaux. Il repose sur une relation énergétique et permet un calcul relativement simple des grandeurs spécifiques (efforts ou déplacements) cherchées.

La méthode de Castigliano, nommée d’après Carlo Alberto Castigliano, est une méthode de détermination des déplacements d’un système linéaire-élastique basé sur les dérivées partielles de l’énergie. Il est connu pour ses deux théorèmes.

Le concept de base peut être facilement compris en rappelant qu’un changement d’énergie est égal à la force qui le provoque multipliée par le déplacement qui en résulte.

Par conséquent, la force génératrice est égale à la variation d’énergie divisée par le déplacement résultant. Alternativement, le déplacement résultant est égal à la variation d’énergie divisée par la force génératrice. Des dérivées partielles sont nécessaires pour relier les forces génératrices et les déplacements résultants à la variation d’énergie.

  • Le deuxième théorème de Castigliano – pour les déplacements dans une structure linéairement élastique.

La méthode de Castigliano pour le calcul des déplacements est une application de son deuxième théorème, qui stipule

Si l’énergie de déformation d’une structure linéairement élastique peut être exprimée en fonction de la force généralisée Qi, alors la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à la force généralisée donne le déplacement généralisé qi dans la direction de Qi.

Comme ci-dessus, ceci peut également être exprimé comme :

Exemple d’application

Un solide en porte à faux est modélisé par une poutre de longueur l, encastrée au point A. Une force concentrée F est appliqué à l’extrémité au point B.

Hypothèses

  • Matière homogène et isotrope,
  • La poutre est rectiligne,
  • La poutre a un comportement linéaire élastique.
  • L’action mécanique est modélisée par un vecteur force appliquée progressivement et une variation lente
  • On néglige les efforts tranchants

Questions

  1. Déterminer le torseur de cohésion le long de la poutre.
  2. Calculer l’énergie élastique U
  3. Avec le théorème de Castigliano, calculer la flèche fau point A.

Cet exercice est extrait du Kit de survie – Résistance des matériaux, que vous pourrez retrouver dans la formation en ligne ou en fiche à la demande.

Solution

Eléments de réponse

1 – Torseur de cohésion

$$T_{coh}(x) = \left[\begin{matrix}0 & 0\\F & 0\\0 & -Fl\end{matrix}\right]_{B0}$$

2 – Energie de déformation

$$ U =\frac{F^{2} l^{3}}{6 E Iz}  $$

3 – Fleche au point A

$$ f_a =\frac{F l^{3}}{3 E Iz} $$

Solution détaillée

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RDM – Comment calculer un torseur de cohésion ?

Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide indéformable, pour décrire les mouvements des solides et les actions mécaniques qu’ils subissent de la part d’un environnement extérieur.

En résistance des matériaux, un torseur de cohésion est un torseur statique utilisé pour modéliser les actions mécaniques internes (ou effort interne) dans l’étude des solides indéformables.

Pour déterminer les efforts de cohésion ou efforts intérieurs lorsqu’un objet se déforme, on utilise en résistance des matériaux le principe de la coupure, ou principe de la coupe.

Dans le cas d’une poutre d’axe x, ce torseur s’écrit

Chaque composante du torseur de cohésion (ou torseur des efforts intérieurs) représentant un mode de sollicitation élémentaire :

  • N, effort normal : force de direction tangente à la courbe moyenne ;
  • T, effort tranchant : force perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant un cisaillement :
    • Ty : effort tranchant selon y,
    • Tz : effort tranchant selon z ;
  • Mf, moment fléchissant : moment dont le vecteur est perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant une flexion :
    • Mfy : moment fléchissant selon y,
    • Mfz : moment fléchissant selon z ;
  • Mt, moment de torsion : son vecteur a pour direction x.

Exemple d’application

Un solide en porte à faux est modélisé par une poutre de longueur l, encastrée au point A. Une force concentrée F est appliqué à l’extrémité au point B.

Hypothèses

  • Matière homogène et isotrope,
  • La poutre est rectiligne,
  • L’action mécanique est modélisée par un vecteur force appliquée progressivement et une variation lente

Questions

  1. Déterminer le torseur de cohésion le long de la poutre.
  2. Tracer les diagrammes des sollicitations Ty(x) et Mfz(x) 

Cet exercice est extrait du Kit de survie – Résistance des matériaux, que vous pourrez retrouver dans la formation en ligne ou en fiche à la demande.

#01. Torseur de cohésion

 

Solution

Eléments de réponse

$$T_{coh}(x) = \left[\begin{matrix}0 & 0\\F & 0\\0 & -Fl\end{matrix}\right]_{B0}$$

Solution détaillée

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Comment tracer le cercle de Mohr ? – Animation

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Le cercle de Mohr est un outil intéressant pour déterminer les contraintes principales et directions principales. Mais comment fait-on pour le tracer ? Rien de plus facile, que ce tracé du cercle de Mohr. Diagonaliser une matrice 2×2 graphiquement est … Continuer la lecture

 Contraintes planes et déformations – Animation

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L’objectif de cette animation est de montrer l’influence de l’orientation de la facette pour un état plan de contraintes. Considérons un essai de traction, la sollicitation retenue est donc une contrainte normale sxx…. Source : EduMeca | Animations Flash pour la … Continuer la lecture

Comment représenter le cercle de Mohr des contraintes ?

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Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte ou des déformations à deux dimensions en un point donné. C’est une méthode rapide et demandant peu de moyens de calcul. Cette article, vous propose un outil de calcul en ligne pour tracer le cercle de Mohr rapidement pour vos analyses des contraintes. Continuer la lecture