RDM – Comment calculer la flèche d’une poutre en flexion ?

Thèorème de Castigliano

Le théorème de Castigliano (du nom de Carlo Alberto Castigliano) est à la base de nombreuses méthodes de calcul des efforts en résistance des matériaux. Il repose sur une relation énergétique et permet un calcul relativement simple des grandeurs spécifiques (efforts ou déplacements) cherchées.

La méthode de Castigliano, nommée d’après Carlo Alberto Castigliano, est une méthode de détermination des déplacements d’un système linéaire-élastique basé sur les dérivées partielles de l’énergie. Il est connu pour ses deux théorèmes.

Le concept de base peut être facilement compris en rappelant qu’un changement d’énergie est égal à la force qui le provoque multipliée par le déplacement qui en résulte.

Par conséquent, la force génératrice est égale à la variation d’énergie divisée par le déplacement résultant. Alternativement, le déplacement résultant est égal à la variation d’énergie divisée par la force génératrice. Des dérivées partielles sont nécessaires pour relier les forces génératrices et les déplacements résultants à la variation d’énergie.

  • Le deuxième théorème de Castigliano – pour les déplacements dans une structure linéairement élastique.

La méthode de Castigliano pour le calcul des déplacements est une application de son deuxième théorème, qui stipule

Si l’énergie de déformation d’une structure linéairement élastique peut être exprimée en fonction de la force généralisée Qi, alors la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à la force généralisée donne le déplacement généralisé qi dans la direction de Qi.

Comme ci-dessus, ceci peut également être exprimé comme :

Exemple d’application

Un solide en porte à faux est modélisé par une poutre de longueur l, encastrée au point A. Une force concentrée F est appliqué à l’extrémité au point B.

Hypothèses

  • Matière homogène et isotrope,
  • La poutre est rectiligne,
  • La poutre a un comportement linéaire élastique.
  • L’action mécanique est modélisée par un vecteur force appliquée progressivement et une variation lente
  • On néglige les efforts tranchants

Questions

  1. Déterminer le torseur de cohésion le long de la poutre.
  2. Calculer l’énergie élastique U
  3. Avec le théorème de Castigliano, calculer la flèche fau point A.

Cet exercice est extrait du Kit de survie – Résistance des matériaux, que vous pourrez retrouver dans la formation en ligne ou en fiche à la demande.

Solution

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